Punktprozesse

Punktprozesse sind stochastische Modelle, die zufällige Punkte in einem Raum erfassen. Formal betrachtet man einen Punktprozess N als Zufallsmaß auf der Borel-Algebra eines Raums S (häufig die reelle Linie oder der Raum R^d). Für jedes Borel-Set B gilt eine Zufallsgröße N(B), die angibt, wie viele Punkte der realization von N im Bereich B liegen. Die Gesamtheit der Zufallspunkte bildet damit eine abzählbare Menge innerhalb von S, die fast sicher endliche Anzahlen in beschränkten Bereichen besitzt.

Eine zentrale Größe eines Punktprozesses ist das Intensitätsmaß Λ, definiert durch E[N(B)] = Λ(B) für alle Borel-Mengen B. Das Intensitätsmaß gibt die durchschnittliche Dichte der Punkte an. Ein homogener Punktprozess hat ein Intensitätsmaß der Form Λ(B) = λ|B|, wobei λ die mittlere Dichte pro Raumeinheit ist; bei nicht-homogenen Prozessen variiert Λ(B) je nach Lage.

Der Poisson-Punktprozess (PPP) ist ein wichtiger Spezialfall: In jedem Borel-Set B hat N(B) eine Poisson-Verteilung mit Parameter Λ(B), und die Werte N(B) für disjunkte B sind unabhängig. PPPs besitzen damit unabhängige Zuwächse und dienen oft als Referenzmodell. In der eindimensionalen Zeit können PPP-Interarrivalzeiten exponentiell verteilt sein, was zu einer Reihe zufälliger Ereignisse führt.

Weitere Typen von Punktprozessen umfassen Cox-Prozesse (Poissonprozess mit zufälliger Intensität), Renewal-Prozesse (Interarrivalzeiten unabhängig identisch verteilt, aber nicht Poisson) und Cluster-Prozesse (geclusterte Punktmuster). Anwendungsgebiete finden sich in Warteschlangentheorie, Geowissenschaften, Ökologie und Neurophysiologie.

Punktprozesse liefern eine natürliche framework zur Modellierung zufälliger Ereignisse im Zeit- oder Raum, und greifen auf Konzepte wie Intensität, Momentenmaße und Palm-Theorie zurück, um Eigenschaften der Realisationen zu analysieren.