Punktprozessen

Punktprozesse sind stochastische Modelle, die eine zufällige Menge von Ereignissen in der Zeit oder im Raum beschreiben. Formalisiert werden sie durch eine Zählmaß N(A), das die Anzahl der Ereignisse in einer Borel-Menge A angibt. Die aufeinanderfolgenden Ereignistermine T1 < T2 < ... bilden einen Prozess der Punktzeiten auf der reellen Achse. Punktprozesse können auch in mehrdimensionalen Räumen definiert werden, etwa für Ereignisse in Raum und Zeit.

Der bekannteste Vertreter ist der Poissonprozess. Ein homogener Poissonprozess hat eine konstante Intensität λ > 0 und unabhängige Zuwächse: Die Anzahl der Ereignisse in jedes Intervall der Länge t folgt Poisson(λ t), und Zählwerte in disjunkten Intervallen sind unabhängig. Die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen sind exponentiell verteilt. Inhomogene Poissonprozesse besitzen eine zeitabhängige Intensität λ(t) und eine erwartete Zählrate Λ(t) = ∫_0^t λ(s) ds; Inkremente in disjunkten Intervallen sind unabhängig, doch die Verteilung hängt von der Zeit ab, daher ist der Prozess nicht stationär.

Markierte Punktprozesse erweitern das Modell, indem jedem Ereignis ein Mark oder Merkmal zugeordnet wird, etwa der Typ des Ereignisses oder zusätzliche Eigenschaften. Solche Modelle ermöglichen die Beschreibung von Ereignissen und ihren Merkmalen.

Neben dem Poissonprozess gibt es weitere Modelle wie Hawkes-Prozesse, bei denen die Intensität durch vergangene Ereignisse beeinflusst wird (selbstanregend), oder Cox-Prozesse, die eine zufällige zeitabhängige Intensität verwenden.

Anwendungen und Methoden: Punktprozesse finden breite Anwendung in Warteschlangentheorie, Telekommunikation, Finanzmärkten, Neurowissenschaften und Erdbebenmodellierung. Die Parameter und die Intensität lassen sich schätzen, zum Beispiel via Maximum-Likelihood oder Thinning-Verfahren; grundlegende Konzepte umfassen Intensität, Kompensator und Palm-Wahrscheinlichkeit.