Poissonprozesse

PoissonProzesse sind diskrete Zufallsprozesse, die die Ankunft von Ereignissen im Zeitverlauf modellieren. Ein Prozess \(N(t)\) ist ein PoissonProzess mit Intensitätsparameter \(\lambda>0\), wenn er den folgenden Eigenschaften genügt:

1. \(N(0)=0\).

2. Die Inkremente \(N(t+s)-N(t)\) für disjunkte Zeitintervalle sind unabhängig.

3. Für jedes Intervall \((t,t+s]\) ist \(N(t+s)-N(t)\) Poissonverteilt mit Erwartungswert \(\lambda s\), d. h.

\[

\mathbb P(N(t+s)-N(t)=k)=e^{-\lambda s}\frac{(\lambda s)^k}{k!}\;\; (k=0,1,2,\dots).

\]

Aus diesen Eigenschaften folgt, dass die Zwischenankunftszeiten exponentiell mit Parameter \(\lambda\) verteilt sind. Der Prozess besitzt somit die Memoryless-Eigenschaft: die Wahrscheinlichkeit eines weiteren Ereignisses hängt nicht davon ab, wie viel Zeit seit dem letzten Ereignis vergangen ist.

PoissonProzesse erscheinen in vielen Bereichen der angewandten Mathematik und Technik. In der Warteschlangentheorie beschreiben sie die Anreise von Kunden in einem System mit Einzelfluss, in der Telekommunikation die Ankunft von Datenpaketen, und in der Physik zum Beispiel das Auftreten von Radioaktivitätszerfällen.

Der Prozess lässt sich über die Superposition mehrerer unabhängiger PoissonProzesse erzeugen, was die additive Eigenschaft des Intensitätsparameters \(\lambda\) veranschaulicht. Bei \(\lambda\to0\) wird der Prozess trivial (keine Ereignisse), während bei \(\lambda\to\infty\) die Zufälligkeit geringer wird und die Ereignisse nahezu gleichmäßig verteilt sind.

Zur weiteren Vertiefung empfiehlt sich die Literatur zu markovischen Prozessen und zur Grundlegenden und Angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie.