Zufallsprozesse

Zufallsprozesse sind mathematische Modelle, die den zeitlichen Verlauf eines Systems mit Zufall darstellen. Formal besteht ein Zufallsprozess aus einer Familie von Zufallsvariablen X_t, indexiert durch einen Zeitparameter T, definiert auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum (Omega, F, P). Für jeden t in T ordnet X_t jedem Ausgang ω einen Wert in einem Zustandsraum S zu. Die Pfadfunktion t -> X_t(ω) wird als Realisierung bezeichnet.

Der Parameterraum T kann diskret (z. B. T = {0,1,2, …}) oder kontinuierlich (T ⊆ [0, ∞)) sein; der Zustandsraum S kann diskret oder stetig sein. Typische Beispiele sind diskrete Prozesse wie Markov-Ketten in diskreter Zeit und kontinuierliche Prozesse wie der Wiener Prozess, der Poissonprozess oder die geometrische Brownsche Bewegung.

Eigenschaften unterscheiden Prozesse nach Abhängigkeiten und Verteilungen. Wichtige Konzepte sind die Markov-Eigenschaft (Zukunft hängt nur vom gegenwärtigen Zustand ab), Stationarität der Inkremente und Gaussianität (bei Gaussian-Prozessen). Einige Prozesse besitzen kontinuierliche Pfade, andere springen diskret. Der Wiener Prozess hat z. B. unabhängige, stationäre Inkremente und stetige Pfade.

Mathematisch liefert die Theorie Verteilungen der endlichen Dimensionen, Filtrationen (F_t) und Konzepte wie Erwartung, Varianz und Korrelation. In der kontinuierlichen Zeit ermöglicht Itô- oder Stratonovich-Calculus den Umgang mit stochastischen Integralen und Differentialgleichungen.

Anwendungen finden sich in Finanzen (Preisbewegungen von Wertpapieren), Physik (Diffusion), Warteschlangentheorie, Ingenieurwesen, Biologie und Umweltwissenschaften. Die Theorie der Zufallsprozesse bildet die Grundlage für Modellierung, Simulation und statistische Inferenz in zeitabhängigen Systemen.