Gaussianität

Gaussianität bezeichnet die Eigenschaft einer Zufallsvariablen oder eines Zufallsvektors, einer Normalverteilung bzw. einer multivariaten Normalverteilung zu gehorchen. Univariate Gaussianität bedeutet X ~ N(μ, σ²); multivariate Gaussianität bedeutet ein Vektor X ∈ R^n folgt der Verteilung mit Mittelwertvektor μ und Kovarianzmatrix Σ. Typische Gütekriterien sind die Form der Dichte und die Tatsache, dass lineare Transformationen einer normalverteilten Größe wieder normalverteilt sind.

Eine zentrale Charakterisierung besteht darin, dass alle linearen Kombinationen linearer Funktionen der Variablen normalverteilt sind. Umgekehrt ist eine Verteilung genau dann multivariat normal, wenn jede Projektion auf eine Richtung normalverteilt ist. Weitere Eigenschaften sind Symmetrie um den Mittelwert, unimodale Form und meist „leichte“ Tails im Vergleich zu manchen Nicht-Gaussianitäten. In der multivariaten Version genügt die Angabe von μ und Σ; viele Statistiken beruhen auf dieser Struktur, etwa lineare Regressionen oder Gaußsche Prozesse.

In der Praxis wird Gaussianität oft durch Tests auf Skewness und Kurtosis, Q-Q-Plots oder formale Tests wie Shapiro–Wilk, Kolmogorov–Smirnov oder Anderson–Darling geprüft. In Zeitreihen- und Stichprobenanalysen geht es häufig auch um Gaußprozesse oder Gaußfelder, deren Eigenschaften durch Autokovarianzen bzw. Kovarianzmatrizen beschrieben werden.

Wichtige Anwendungen finden sich in Statistik, Signalverarbeitung, Physik (z. B. Kosmologie, wo Primärfluktuationen oft als Gaussianität angenähert werden) und Finanzwirtschaft. Realweltliche Daten weisen jedoch oft Abweichungen von Gaussianität auf (Schiefe, heavy tails), weshalb robuste Methoden oder Modelle mit Nicht-Gaussianität eingesetzt werden.

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