Autokovarianzen

Autokovarianzen (Autocovariances) beschreiben in der Zeitreihenanalyse die Kovarianzen eines Zufallsprozesses X_t mit einer verschobenen Version X_{t+h} um einen Lag h. Formal definiert man gamma(h) = Cov(X_t, X_{t+h}) = E[(X_t - mu)(X_{t+h} - mu)], wobei mu der Erwartungswert der Folge ist.

Für eine Folge mit konstanter mittlerer Erwartung mu und Varianz Var(X_t) = sigma^2 gilt gamma(h) weitgehend unabhängig vom Zeitpunkt t, d. h., das heißt die Autokovarianz hängt nur vom Lag ab (Wide-sense Stationarität). gamma(0) entspricht der Varianz sigma^2. Zudem gilt gamma(-h) = gamma(h) (Symmetrie). Die Autokovarianzfunktion lässt sich über die Autokorrelationsfunktion rho(h) ausdrücken als gamma(h) = gamma(0) · rho(h), wobei rho(h) = Cov(X_t, X_{t+h}) / Var(X_t).

Schätzung: Die Stichproben-Autokovarianz wird häufig als gamma_hat(h) = (1/(n - h)) Summe von t=1 bis n-h [(x_t - x_bar)(x_{t+h} - x_bar)] definiert. Falls der Erwartungswert mu bekannt ist, ersetzt man x_bar durch mu; bei unbekanntem mu wird mu durch die Stichprobenmittelwertschätzung angenähert. Die Schätzung kann je nach angewandter Formel erwartungstreu oder verzerrt sein, insbesondere für h > 0 in kleinen Stichproben.

Verwendung: Autokovarianzen dienen der Beschreibung der Abhängigkeitsstruktur einer Zeitreihe, der Modellierung in ARMA-Systemen sowie der Bestimmung der Spektraldichte als Fourier-Transformierte von gamma(h). Eine schnelle Abnahme von gamma(h) deutet auf kurze Gedächtniswirkung hin, eine langsame Abnahme auf potenzielle Langzeitabhängigkeiten. Die Methode setzt in der Regel Stationarität voraus; bei Nicht-Stationarität müssen geeignete Transformations- oder Modellierungsansätze gewählt werden.