Zufallsprozesses

Zufallsprozesse sind grundlegende Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Ein Zufallsprozess X ist eine Familie von Zufallsvariablen {X_t : t ∈ T}, die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) definiert sind und einen Zustandraum S abbilden. Der Index t bezeichnet die Zeit und kann diskret (zum Beispiel T = {0, 1, 2, …}) oder kontinuierlich (T ⊆ R^+) sein. Für jeden festen Zeitpunkt t ist X_t eine zufällige Größe, deren Wert von ω ∈ Ω abhängt.

Die Verteilung des Prozesses wird durch die gemeinsamen Verteilungen von Finite-Dimensionen beschrieben, etwa die Verteilung von (X_{t1}, ..., X_{tn}) für t1 < … < tn. Oft interessieren Modelle nicht nur die einzelnen Variablen, sondern auch deren Abhängigkeiten über die Zeit, etwa Eigenschaften wie Stationarität, Abhängigkeiten zwischen Zeitpunkten oder Markov-Eigenschaften.

Es gibt diskrete Zeitprozesse, wie die einfache Zufallswanderung oder der Binomialprozess, und kontinuierliche Zeitprozesse, wie der Poisson-Prozess oder die Wiener-Brown-Bewegung. Spezielle Klassen umfassen Markov-Prozesse, bei denen die Zukunft nur vom gegenwärtigen Zustand abhängt, und stationäre Prozesse, deren statistische Eigenschaften zeitlich verschoben identisch bleiben.

Zu den zentralen Eigenschaften gehören die Abhängigkeiten zwischen den Zeitpunkten, die Markov-Eigenschaft, sowie Kontinuität oder Stetigkeit der Pfade (bei bestimmten Prozessen). Viele Modelle lassen sich durch stochastische Differentialgleichungen oder durch diskrete Übergänge modellieren und analysieren.

Anwendungsgebiete umfassen Queuing-Theorie und Betriebsforschung, Finanz- und Risikomodellierung, Physik, Biologie sowie Signal- und Kommunikationsengineering.