FourierTransformierte

Die Fouriertransformierte, oft als Fourier-Transformation bezeichnet, ist ein mathematisches Verfahren zur Zerlegung einer Funktion in ihre Frequenzanteile. Sie ordnet jeder Frequenzω eine komplexe Amplitude zu und liefert eine Darstellung des Signals im Frequenzraum. Für Signale, die über der reellen Zeit t definiert sind, wird eine gängige Definition verwendet: F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt, und die inverse Transformation lautet f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω. Da es verschiedene Konventionen gibt, unterscheiden sich Normalisierung und Exponentialsign; daher kann die genaue Form je nach Anwendungsfall leicht variieren.

Existenz und Räume: Ist f tönlich integrierbar (f ∈ L1(R)), ist F eine stetige Funktion und verschwindet im Unendlichen. Für f ∈ L2(R) existiert F als Fourier-Transform im Sinne von Plancherel; die Transformierte ist dann ebenfalls in L2(R) und die Energie des Signals bleibt erhalten. Rechenregeln umfassen Lineareigenschaft, Verschiebung im Zeitbereich (f(t−t0) ⇔ e^{-i ω t0} F(ω)) und Verschiebung im Frequenzbereich (F(ω−ω0) ⇔ Δ-funktion in Zeit). Ableitungen im Zeitbereich entsprechen Potenzen von iω im Frequenzbereich, und F{f*g} = F{f} F{g} gilt für Faltungsprodukte. Real-valued functions liefern F oft eine Hermitesche Symmetrie.

Inverse Transformation und Anwendungen: Die Fouriertransformation ist invertierbar, sodass aus F wieder das ursprüngliche f gewonnen werden kann. Anwendungsgebiete finden sich in der Signalverarbeitung, Bildverarbeitung, Lösung von Differentialgleichungen, Optik und Quantenmechanik.

Geschichte: Der Begriff leitet sich von Joseph Fourier ab; die Methode entwickelte sich im 19. Jahrhundert zu einem zentralen Werkzeug der Analysis und Technik. Siehe auch Diskrete Fourier-Transformation und Fourier-Reihe.