Punktprozesses

Punktprozesse sind stochastische Modelle, die eine zufällige Ansammlung von Ereignispunkten in einem Raum oder auf der Zeitachse beschreiben. Typische Anwendungsfelder sind Zeitpunkte von Ankünften, Ausfällen, neuronalen Spikes oder andere diskrete Ereignisse in Raum und Zeit.

Formale Definition: Sei N ein zufälliges Maß, das auf dem Borel-Algebra eines Raums (zum Beispiel der reellen Zahlen) defini ist. Für jedes Borel-Teilmaß A ist N(A) eine nichtnegative ganze Zahl, die die Anzahl der Punkte in A angibt. Ein Punktprozess ist oft einfach, das heißt, es liegt keine Mehrfachpunktrate an derselben Stelle vor. N besitzt dann die Eigenschaft, dass N(A) für disjunkte Mengen A unabhängig sind (Inkremente). Die Gesamtheit der Punkte wird durch eine Zufallspunktstruktur beschrieben.

Wichtige Beispiele: Der Poissonprozess ist der bekannteste Punktprozess. Bei einem homogenen Poissonprozess mit Intensität λ hat N(B) für jeden disjunkten Borel-Block B eine Poissonverteilung mit Parameter λ·Lebesgue-Messung(B), und Inkremente über disjunkte Blöcke sind unabhängig. Die Abstände der aufeinanderfolgenden Ereignisse folgen einer Exponentialverteilung mit Rate λ; die Ereignisse sind gänzlich zufällig verteilt, ohne nachfolgende Abhängigkeiten.

Inhomogener Poissonprozess besitzt eine zeitabhängige Intensität λ(t) und eine durchschnittliche Anzahl Λ(t)=∫0^t λ(u) du; N(t)−N(s) folgt Poisson mit Erwartungswert Λ(t)−Λ(s). Weiterentwicklungen umfassen Cox-Prozesse (doppelt stochastische Poissonprozesse), Hawkes-Prozesse (selbstanregende Cluster) und andere Cluster- oder Renewal-Prozesse.

Anwendungen erstrecken sich über Warteschlangentheorie, Telekommunikation, Seismologie, Neurowissenschaften und Epidemiologie. Zentrale Konzepte sind Intensität, Randverteilungen, Thinning, Superposition sowie Simulation und statistische Inferenz.