BorelTeilmaß

Borel-Teilmaß (Borel-submeasure) bezieht sich in der Maßtheorie auf eine Teilmaßfunktion, die auf der Borel-Sigma-Algebra eines topologischen Raums definiert ist. Sei X ein Topologischer Raum und B(X) die Borel-Mengen von X. Eine Funktion μ: B(X) → [0, ∞] heißt Borel-Teilmaß, wenn μ(∅) = 0, μ(A) ≤ μ(B) für A ⊆ B (Monotonie und Zugehörigkeitsordnung) und μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B) für A, B ∈ B(X) (Endliche Subadditivität). In vielen Texten wird zusätzlich eine σ-Subadditivität gefordert, d. h. μ(⋃_{n} A_n) ≤ ∑_{n} μ(A_n), womit μ auch als Capacität gilt.

Ein Borel-Teilmaß ist im Allgemeinen nicht additiv; jede Borel-Maßfunktion ist jedoch eine Borel-Teilmaß. Umgekehrt muss ein Borel-Teilmaß nicht σ-Additiv sein. Trotzdem dient es häufig als Ausgangspunkt zur Erzeugung von Maßen über Carathéodory-Quotienten oder äußere Maße.

Verwendung und Beziehungen: Aus einem Borel-Teilmaß lässt sich durch Standardkonstruktionen ein äußeres Maß definieren, beispielsweise μ(E) = inf{ μ(O) : E ⊆ O, O offen }, und über das Carathéodory-Verfahren eine σ-additive Measure auf einer geeigneten Menge erhalten. Unter zusätzlichen Regularitätsbedingungen (etwa Endlichkeit auf kompakte Mengen oder σ-Endlichkeit) kann sich ein Borel-Teilmaß zu einem Borel-Maß erweitern, das mit μ übereinstimmt.

Beispiele schließen Maße ein, die durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Borel-Mengen eingeschränkt werden, sowie Kapazitäten aus der Potentialtheorie. See also Borel measure, outer measure, capacity, Choquet theory.