Momentenmaße

Momentenmaße sind Borel-Maße auf der reellen Achse oder in Unterräumen davon, für die die Momente existieren. Der k-te Moment eines Maßes μ ist m_k = ∫ x^k dμ(x), sofern das Integral endlich ist. Die Folge (m_k)_{k≥0} nennt man die Momentensequenz von μ. In der Praxis geht es oft darum, aus einer gegebenen Momentensequenz ein Maß μ zu bestimmen, dessen Momente die vorgegebene Sequenz erfüllen. Dieses Problem wird als Momentenproblem bezeichnet.

Je nach Unterstützung des Maßes unterscheiden sich die Varianten des Momentenproblems. Das Hamburger Momentenproblem bezieht sich auf Maße, deren Unterstützung ganz ℝ ist. Das Stieltjes-Momentenproblem bezieht sich auf Maße mit Unterstützung in [0, ∞). Das Hausdorff-Momentenproblem behandelt Maße mit geschlossener endlicher Unterstützung, etwa in [0, 1]. Für jedes dieser Probleme gelten unterschiedliche Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen.

Zu den grundlegenden Bedingungen gehören Positive-Semidefinitheit der Hankel-Matrizen. Für die Existenz eines Maßes, das die gegebenen Momente erzeugt, müssen die Matrizen H_n = (m_{i+j})_{i,j=0}^n positiv semidefinit sein. Für die Eindeutigkeit der Maßbestimmung gibt es Kriterien wie das Carleman-Kriterium: Wenn die Reihe sum_{k≥1} m_{2k}^{-1/(2k)} divergiert, ist das Momentenproblem determiniert, d. h. das Maß ist eindeutig bestimmt.

Beispiele für Momentenmaße sind Dirac-Maße μ = δ_a, deren Momente m_k = a^k sind, oder Normalverteilungen, deren Momente durch Mittelwert und Varianz gegeben sind. Momentenmaße spielen eine zentrale Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Funktionalanalysis, insbesondere im Zusammenhang mit dem Momentenproblem und der Frage, welche Sequenzen als Momentensequenzen realisierbar sind.