Momentenproblem

Het momentenprobleem is een klassiek vraagstuk uit de analyse: gegeven een rij getallen m0, m1, …, bestaat er een maat μ op een passend domein D zodat voor elke k ≥ 0 de k-de moment m_k equal is aan ∫ x^k dμ(x)? Als zo’n maat bestaat, is men geïnteresseerd in bestaan, structuur en mogelijk uniciteit van μ. Afhankelijk van het gekozen domein bestaan verschillende varianten.

De belangrijkste varianten zijn het Hamburger-momentenprobleem (op de hele lijn R), het Stieltjes-momentenprobleem (op [0, ∞)) en het Hausdorff-momentenprobleem (op een gesloten interval [a,b]). Voor elk van deze varianten gelden specifieke existentie- en determinatiecriteria, die elkaar gedeeltelijk overlappen maar verschillen in domainer bawatische eisen.

De kern van het bestaanscriterium is positiefheid van een lineaire functionaal L die de momenten definieert via L(x^k) = m_k. Dit komt overeen met positieve semidefinitie van de Hankel-matrices H_n = [m_{i+j}] (i,j = 0,…,n) voor alle n. Voor determinatie (unieke bepaling van μ door de momenten) bestaan er aanvullende voorwaarden, zoals Carleman’s conditie voor het Hamburgerprobleem; soortgelijke criteria gelden in beperkte of afgeleide vormen voor de andere varianten.

Een veelbesteden uitbreiding is het getrainde of getrimde momentprobleem, waarbij slechts een eindige selectie van momenten is gegeven. Daarvoor worden methoden uit de semidefinite programming en sum-of-squares ontwikkeling ingezet, vaak via de moment-SOS-hiërarchie voor bovensemide benaderingen.

Toepassingen liggen in de reconstructie van kansverdelingen uit momentreeksen, de studie van spectrale eigenschappen van operators, signaal- en systeemtheorie en probabilistische modellering.