proyecciones

Proyecciones es un término que se utiliza en varias disciplinas para describir transformaciones que asignan un conjunto a otro, a menudo reduciendo dimensionalidad o conservando ciertas propiedades. En geometría y álgebra lineal, una proyección lineal es una transformación P tal que P^2 = P. Su imagen es un subespacio y el espacio se puede descomponer en el rango de P y su núcleo. Las proyecciones ortogonales, que además son simétricas (P^T = P), proyectan cada punto sobre un subespacio conservando la mayor parte de la estructura lineal disponible. Se emplean para descomponer vectores, resolver sistemas y estudiar subespacios.

En cartografía, las proyecciones cartográficas son métodos para representar la superficie esférica de la Tierra en un plano. Ninguna proyección puede conservar a la vez proporciones de área, formas, distancias y direcciones. Se eligen según la tarea: proyecciones conformes conservan ángulo, proyecciones equidistantes conservan distancias desde ciertas referencias, y las de área conservan superficies. Ejemplos son Mercator, Lambert y UTM; las distorsiones se describen mediante los círculos de Tissot.

En estadísticas y análisis de datos, las proyecciones permiten reducir dimensionalidad o proyectar datos en subespacios de menor dimensión. La proyección de datos sobre un subespacio que captura la mayor varianza es característica de la técnica de análisis de componentes principales (PCA). También existen proyecciones aleatorias y métodos no lineales de proyección, como t-SNE o UMAP, usados para visualización y exploración de estructuras en conjuntos de alta dimensionalidad.

En gráficos por computadora y visión, la proyección de 3D a 2D transforma coordenadas espaciales para producir imágenes. La proyección de perspectiva simula la visión humana al hacer que los objetos parezcan más pequeños a medida que se alejan, mientras la proyección ortogonal mantiene la escala a lo largo de las direcciones de proyección.