subespacio

En álgebra lineal, un subespacio vectorial, o simplemente subespacio, de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F es un subconjunto U de V que es a su vez un espacio vectorial con las mismas operaciones de V. En otras palabras, U debe contener el vector cero y ser cerrado bajo suma de vectores y multiplicación por escalares: si u, v ∈ U y α ∈ F, entonces αu + v ∈ U (equivale a decir que cualquier combinación lineal de vectores de U permanece en U).

Un subespacio se caracteriza por ser no vacío, contener el cero y estar cerrado frente a combinaciones lineales finitas. Dado que cualquier combinación lineal de elementos de U permanece en U, también se dice que U es estable bajo sumas y productos escalares.

Ejemplos comunes en R^n: el subespacio trivial {0} y el espacio R^n completo; una recta que pasa por el origen en R^2 (un subespacio de dimensión 1) o un plano que pasa por el origen en R^3 (dimensión 2). En general, cualquier subconjunto que cumpla las condiciones anteriores es un subespacio.

Propiedades: la intersección de subespacios es un subespacio; la suma de dos subespacios U y W, definido como {u + w | u ∈ U, w ∈ W}, es también un subespacio. Cada subespacio tiene una base y, por tanto, una dimensión igual al tamaño de esa base. La dimensión de un subespacio U satisface la relación dim(U) ≤ dim(V).

En resumen, los subespacios permiten estudiar estructuras internas de un espacio vectorial manteniendo la estructura de espacio vectorial.