ortogonales

La ortogonalidad es una propiedad fundamental en matemáticas que describe una relación de perpendicularidad entre objetos. En un espacio vectorial con un producto interno, dos vectores pueden ser ortogonales si su producto escalar es cero. Un conjunto de vectores es ortogonal si cada par diferente de vectores es ortogonal; si además cada vector tiene norma uno, el conjunto es ortonormal.

En contextos funcionales, la ortogonalidad se extiende a funciones o cuerpos de funciones mediante un producto interno definido, por ejemplo, la integral del producto de dos funciones. Dos funciones son ortogonales en un intervalo si esa integral es cero. Esta idea permite descomponer señales o funciones en componentes independientes.

Las bases ortogonales y las matrices ortogonales son conceptos clave. Una base ortogonal facilita proyecciones y simplifica cálculos, ya que las componentes de un vector respecto a la base no se mezclan. Una matriz es ortogonal si su transpuesta por la matriz original es la identidad; estas matrices preservan la norma y el producto interno, y representan transformaciones como rotaciones y reflexiones.

Ejemplos y aplicaciones típicas incluyen los polinomios ortogonales (Legendre, Chebyshev, Hermite), que son ortogonales respecto a un peso en un intervalo; las series de Fourier, donde senos y cosenos forman funciones ortogonales; y métodos computacionales como la descomposición QR, que utiliza bases ortogonales para resolver sistemas de ecuaciones. En estadística y aprendizaje automático, la ortogonalización (p. ej., mediante el proceso de Gram-Schmidt) genera bases que simplifican la reducción de dimensionalidad y la interpretación de componentes principales.