funcionales

En matemáticas, y especialmente en análisis funcional, el término funcional (funcionales, en plural) se refiere a una aplicación que asigna a cada vector de un espacio vectorial un único valor en el cuerpo subyacente (generalmente los números reales o complejos). Se denomina funcional lineal cuando, además, cumple la propiedad de linealidad f(ax + by) = a f(x) + b f(y) para todo x, y y escalares a, b. Un funcional que no satisface la linealidad se suele llamar simplemente funcional, sin la especificación de linealidad.

El conjunto de todos los functionales lineales continuos sobre un espacio vectorial normado V se denomina espacio dual, V*. En espacios normados, la continuidad equivale a ser acotado: existen C ≥ 0 tal que |f(x)| ≤ C ||x|| para todo x en V. En espacios de dimensión finita, toda aplicación lineal es continua, y dim V* = dim V.

Ejemplos: en R^n con la norma euclidiana, un funcional lineal tiene la forma f(x) = a1 x1 + ... + an xn, con el vector a = (a1,...,an). En espacios de funciones, como L^p(0,1) con 1 ≤ p ≤ ∞, los functionales continuos se pueden obtener mediante integración contra una función g en L^q, donde 1/p + 1/q = 1. En el caso de espacios de Hilbert, el teorema de representación de Riesz afirma que todo funcional lineal continuo f está dado por f(x) = ⟨x, y⟩ para algún y en el espacio.

Los functionales son conceptos centrales en análisis funcional, con roles en la definición de dualidad, optimización variacional, teoría espectral y representación de operadores. Su estudio facilita comprender cómo interactúan las estructuras lineales con los límites y las medidas de tamaño en diversos espacios.