linealidad

La linealidad es la propiedad de ciertas funciones, operaciones o sistemas de responder de forma proporcional a la entrada y de obedecer el principio de superposición. En matemáticas, se dice que una aplicación entre espacios vectoriales es lineal cuando conserva la suma y la multiplicación por escalares.

Formalmente, una aplicación f: V → W entre espacios vectoriales sobre un cuerpo F es lineal si para todo x, y en V y para todo a, b en F se cumple f(a x + b y) = a f(x) + b f(y). En especial, si el dominio es el conjunto de números reales, basta con f(a x) = a f(x) y f(x + y) = f(x) + f(y). Estas propiedades implican que f(0) = 0 y que f(n x) = n f(x) para enteros n, entre otras consecuencias.

Ejemplos: f(x) = 3x es lineal de R a R; f(x) = x^2 no es lineal porque no satisface f(x + y) = f(x) + f(y). En dimensiones superiores, transformaciones lineales como T(x, y) = (x + y, 2x − y) también cumplen la propiedad de linealidad.

La linealidad se distingue de transformaciones afines, que tienen la forma T(x) = Lx + c; las lineales cumplen T(0) = 0 y no desplazan el origen. Además, fuera de ese marco, las relaciones pueden volverse no lineales debido a productos, potencias, umbrales u otras operaciones no lineales.

Aplicaciones: ecuaciones diferenciales y sistemas lineales, análisis de señales y controles, computación gráfica, aprendizaje automático con modelos lineales y muchas áreas de la física y la ingeniería. En general, la linealidad facilita el análisis y la superposición de efectos.