acotado

Acotado es un adjetivo que, en lenguaje común, significa limitado o restringido. En matemáticas, el término se usa para describir objetos cuyo valor está contenido en una cota finita o que pueden encajar en una región de tamaño limitado.

Conjunto acotado: En un espacio métrico (X, d), un subconjunto S es acotado si existe un punto p en X y un número real R < ∞ tales que d(x, p) ≤ R para todo x en S. Equivalentemente, S ⊂ B(p, R), donde B es una bola cerrada de radio R. En ℝ^n con la métrica euclídea, esto significa que existe R tal que para todo x en S se tiene ∥x∥ ≤ R.

Secuencias acotadas: Una sucesión (a_n) es acotada si existe M > 0 tal que |a_n| ≤ M para todo n. Funciones acotadas: Una función f definida en un dominio D es acotada si existe M > 0 tal que |f(x)| ≤ M para todo x en D.

Propiedades: todo conjunto finito es acotado. En ℝ^n, un conjunto es acotado si y solo si está contenido en una bola cerrada de radio finito. La acotación es una noción fundamental en análisis y está relacionada con la compactación: en espacios euclídeos, la compacidad implica ser cerrado y acotado; la recíproca requiere además de ser cerrado.

Ejemplos: el intervalo [0, 1] es acotado; el conjunto { (x, y) ∈ ℝ^2 : x^2 + y^2 ≤ 4 } es acotado; la función f(x) = sin x es acotada en ℝ; la función f(x) = x no es acotada en ℝ.

Uso y matiz: en el habla cotidiana, “acotado” puede significar limitado por un recurso o por una regla, no solo en sentido estricto matemático.