polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de términos, cada uno de los cuales es el producto de un coeficiente y potencias no negativas de una o más variables. En una variable x, un polinomio de grado n se escribe como p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, donde a_n ≠ 0. Los coeficientes a_i pueden ser números reales o complejos, y el grado es el mayor exponente con coeficiente distinto de cero.

Cada término se llama monomio; el monomio de mayor grado es el término líder. El polinomio se expresa en forma estándar ordenando los términos por grado descendente. La función polinómica asociada p: R → R describe un comportamiento continuo y suave, con su valor p(x) para cada x real.

Operaciones básicas: suma y resta de polinomios, multiplicación y, en su caso, división polinómica. La división, al dividir p por un polinomio q, produce un cociente y un residuo, y p = q·cociente + residuo. Muchos polinomios se pueden factorizar para revelar sus ceros. Factorizar puede hacerse por extracción de factor común, agrupación, o utilizando identidades algebraicas.

Raíces o ceros: son los valores de x para los que p(x) = 0. Según el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio no constante tiene al menos una raíz en el conjunto de los complejos. En polinomios con coeficientes reales, las raíces pueden ser racionales o irracionales. Existen criterios como el teorema de las raíces racionales para localizar posibles ceros.

Clasificación y uso: pueden ser polinomios de una variable (univar) o de varias variables (multivar). Según el grado, se clasifican en lineales (grado 1), cuadráticos (grado 2), cúbicos (grado 3), etc. Los polinomios aparecen en áreas como modelado, aproximación numérica y resolución de problemas en ciencia e ingeniería.