polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de potencias de una variable, cada una con un coeficiente. En forma canónica se escribe como P(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + ... + an x^n, donde a_n ≠ 0 y n es el grado del polinomio. La variable puede ser real o compleja y los coeficientes pertenecen a un cuerpo o anillo.

Un monomio es un único término de la forma c x^k. Un polinomio es la suma de uno o más monomios. Se pueden realizar operaciones de suma, resta y multiplicación; la evaluación de un polinomio en un valor c se obtiene sustituyendo x por c. Los polinomios con coeficientes en un cuerpo forman un anillo cerrado bajo estas operaciones.

El grado de P es el mayor exponente con coeficiente distinto de cero; el coeficiente de mayor grado, a_n, se llama coeficiente principal o líder. Las raíces de P(x) son los valores de x para los que P(x) = 0. Si los coeficientes son complejos, el teorema fundamental del álgebra garantiza que, de grado n, P(x) tiene exactamente n raíces en el plano complejo contando multiplicidades. En factorización completa sobre C se expresa como P(x) = a_n ∏ (x - r_i), donde r_i son las raíces (con multiplicidad).

Entre los tipos habituales se encuentran los polinomios lineales (grado 1) y cuadráticos (grado 2). Ejemplos: P(x) = 3x^4 - 2x^3 + x - 5; Q(x) = x^2 + 4x + 4. Los polinomios se estudian en diversas áreas de las matemáticas y se aplican en física, ingeniería y computación, entre otros.