multiplicidad

La multiplicidad es un concepto matemático que cuantifica cuántas veces ocurre una misma característica en un objeto. Se utiliza en distintas áreas de las matemáticas con significados relacionados pero específicos; entre ellos destacan los órdenes de ceros, los conteos de raíces y los grados de intersección.

En álgebra, la multiplicidad de una raíz r de un polinomio P(x) es el mayor entero k tal que (x − r)^k divide a P(x). Equivale al orden de anulación de P en r. Por ejemplo, P(x) = (x − 2)^3 (x + 1)^2 tiene la raíz 2 con multiplicidad 3 y la raíz −1 con multiplicidad 2.

En álgebra lineal y teoría espectral, la multiplicidad algebraica de un autovalor λ es su multiplicidad como raíz del polinomio característico; la multiplicidad geométrica es la dimensión de su espacio propio, y se cumple que la multiplicidad geométrica ≤ multiplicidad algebraica.

En geometría algebraica y teoría de curvas, la multiplicidad describe la intensidad de una intersección en un punto: una intersección transversal tiene multiplicidad 1; si las curvas se tocan o tienen un contacto más cercano, la multiplicidad es mayor. También se analiza mediante objetos locales como anillos y datos de tangentes para caracterizar singularidades.

En análisis real y complejo, la multiplicidad de un cero de una función analítica es el orden de desaparición en ese punto, generalizando el caso polinomial.

En conjunto, la multiplicidad es un concepto unificador que ayuda a describir el comportamiento local, la factorización y la interacción de objetos matemáticos, y aparece en contextos como la teoría de intersecciones, el análisis de perturbaciones y los estudios de estabilidad.