racionales

Los números racionales, o racionales, son aquellos que pueden expresarse como la razón a/b de dos enteros a y b, con b distinto de cero. Se denotan comúnmente por Q y pueden escribirse como el conjunto {a/b : a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}. Cada racional puede representarse de forma única en su forma reducida a/b, con gcd(a,b) = 1 y b > 0.

Propiedades y estructura. Los racionales son cerrados bajo las operaciones habituales de suma, resta y multiplicación, y el cociente de dos racionales distinto de cero sigue siendo racional. Por eso, Q es un cuerpo, y, como subconjunto de los números reales, hereda su orden total. Este orden es compatible con las operaciones, de modo que se conserva la aritmética familiar.

Representación decimal y densidad. Cada número racional tiene una representación decimal que termina o es periódica. En cambio, entre dos números reales, siempre existe otro racional; esto significa que los racionales son densos en los reales. Además, Q es countable (enumerable), a diferencia de los reales, que son incountables.

Reducción y representación. Un racional puede presentarse como una fracción en forma reducida; dos pares de enteros (a,b) y (c,d) representan el mismo racional si ad = bc. La reducción se obtiene aplicando el algoritmo de Euclides para eliminar factores comunes.

Relación con otros números. Los racionales no agotan los reales: existen números irracionales, que no pueden expresarse como cocientes de enteros. Los racionales juegan un papel central en aritmética, teoría de números y aplicaciones de medición y computación. Ejemplos incluyen 1/2, -3/4 y 7.