oppervlaktevorm

Oppervlaktevorm, in de differentiaalmeetkunde ook wel oppervlakte- of area-form genoemd, is de differentialvorm die op een tweedimensionale, georiënteerde oppervlakte S in de driedimensionale ruimte R^3 de maat van een gebied op die oppervlak bepaalt. Met een gekozen oriëntatie levert de oppervlaktevorm het oppervlaktesegment volledig op wanneer men stukken van S integreert.

Als S geparametriseerd is door een kaart r(u,v) met (u,v) in een domein D, dan worden de partiele afgeleiden r_u en r_v gevormd. De inwendige producten E = r_u · r_u, F = r_u · r_v en G = r_v · r_v bepalen de metriek op de oppervlakte via de formule voor de oppervlaktemaat: dS = sqrt(EG − F^2) du dv. Dit wordt ook geschreven als dS = ||r_u × r_v|| du dv, waarbij r_u × r_v de gewone kruisling geeft en de norm daarvan de lokale oppervlakte-element is.

De oppervlaktevorm is dus gerelateerd aan de metriek van S en aan de oriëntatie: bij een gekozen oriëntatie bepaalt de volgorde van (u, v) de signatuur. In vormtaal kan men ook zeggen dat de oppervlaktevorm de pullback is van de standaard driedimensionale volumevorm door de parametrisatie van S, wat resulteert in de gezamenlijke uitdrukking dS = sqrt(EG − F^2) du ∧ dv.

Toepassingen omvatten het berekenen van oppervlaktes van oppervlakken in drie dimensies, het evalueren van oppervlaktesommen en integralen in natuur- en engineeringtoepassingen, en het vormen van basisconcepten in differentiaalmeetkunde en Riemannian geometry. Voor speciale oppervlakken, zoals een bol met r(θ, φ) = (R sinφ cosθ, R sinφ sinθ, R cosφ), levert deze formule dS = R^2 sinφ dφ dθ.