nonnegativiteitsvoorwaarden

Nonnegativiteitsvoorwaarden zijn wiskundige beperkingen die vereisen dat bepaalde variabelen niet negatief zijn, oftewel dat x_i ≥ 0 geldt voor geselecteerde componenten van een beslissingvector x in R^n. Ze komen veel voor in optimalisatieproblemen en reflecteren vaak concrete realiteit zoals hoeveelheden, kansen of toegewezen resources.

Formeel worden de niet-negatieve variabelen geschreven als x ≥ 0 component-wise, waarbij alleen de betrokken variabelen aan deze eis onderworpen zijn. In veel modellen bestaan de besluitvariabelen uit zowel niet-negatieve als andere variabelen, waardoor niet alle componenten aan deze beperking onderworpen zijn.

Het doel van nonnegativiteitsvoorwaarden is om het feasible gebied te beperken tot fysieke of probabilistische waarden. Het zet de geometrie van het probleem op een zogeheten eerste hoekvlak (first orthant) en beïnvloedt de eigenschappen van het optimalisatieprobleem, zoals existentie en detectie van oplossingen, en de vorm van de dualproblemen.

Typische voorbeelden zijn:

- Minimize c^T x onder Ax = b en x ≥ 0 (lineaire programmering).

- Resource-allocatieproblemen waarin x_i de hoeveelheid van resource i forcerend vastlegt.

In algoritmen worden niet-negatieve variabelen vaak afgedwongen via projectie op de nonnegatieve deelverzameling, barriere methoden zoals log-barrières of door herformulering zoals x = y^2 in unconstrained omgevingen. Nonnegativiteitsvoorwaarden dragen bij aan de convexiteit van veel problematische sets en vereisen passende toewijzing van dualvariabelen in KKT-voorwaarden.