mixedstrategieën

Mixedstrategieën zijn een kernconcept in de speltheorie. Een mixedstrategie is een kansverdeling over de mogelijke pure strategieën van een speler; de speler kiest dus niet één actie, maar wijst aan elke mogelijke actie een kans toe. Deze aanpak maakt randomisatie mogelijk en voorkomt voorspelbaar gedrag door tegenstanders.

In tegenstelling tot pure strategieën, waarbij een speler altijd dezelfde zet kiest, kunnen mixedstrategieën in veel spelletjes leiden tot betere verwachte uitkomsten wanneer de anderen ook niet deterministisch spelen. Ze zijn vooral belangrijk voor het beschrijven van evenwichten in normaal-vormspelen, waar geen dominante zet voor elke speler bestaat.

Formeel gezien gaat het om een normaal-vorm spel met spelers i = 1, ..., n en respectieve verzamelingen A_i van pure acties. Een mixedstrategie σ_i is een kansverdeling over A_i. De verwachte opbrengst voor speler i bij een profiel van mixedstrategieën σ = (σ_1, ..., σ_n) wordt berekend door de payoffs te wegen met de corresponderende kansen van alle actiecombinaties. Een profiel is een Nash-evenwicht wanneer geen speler zijn eigen mixedstrategie kan verbeteren door alleen zijn σ_i te wijzigen, gegeven de strategieën van de anderen.

Bestaan: in elk eindig normaal-vorm spel bestaat ten minste één Nash-evenwicht in mixedstrategieën. Dit fundamentele resultaat werd oorspronkelijk aangetoond door von Neumann en Morgenstern en later uitgebreid door Nash. Voor veel twee-spelerzero-sum spellen geldt bovendien dat er een waarde van het spel bestaat die wordt bereikt in een der partijen.

Voorbeelden: in Steen-Papier-Schaar is de enige onverklaarbare (gegeneraliseerde) mix de uniforme verdeling waarin elke actie met kans 1/3 wordt gekozen. Intern kunnen mixedstrategieën ook worden gebruikt om tegenstander te misleiden of te weerleggen in meer complexe spellen. Berekenen van een mixedstrategie kan gebeuren via lineaire programmering of andere algorithmische methoden.