minderdanrelaties

Minderdanrelaties is een term uit de wiskunde die verwijst naar de minder-dan-relatie, een binaire relatie die aangeeft wanneer het ene element strikt kleiner is dan het andere. De bekendste voorbeeld is de standaard less-than-relatie op de reële getallen, maar minderdanrelaties komen voor in vele verzamelingen met een ordening.

Eigenschappen: een minder-dan-relatie is doorgaans een strikte orde. Kenmerkend zijn irreflexiviteit (geen enkel element is kleiner dan zichzelf) en transitiviteit (als a < b en b < c, dan a < c). In een totale (of lineaire) orde geldt bovendien dat elk verschillend paar elementen vergelijkbaar is: voor elk a en b met a ≠ b geldt of a < b of b < a. In tegenstelling tot de minder-dan-relatie is de niet-strikte relatie ≤ reflexief en antisymmetrisch in de zin van een ordening die ook gelijke elementen toestaat.

Toepassingen: minderdanrelaties worden gebruikt om grootheden te ordenen, ongelijkheden op te lossen, getallen en functies te rangschikken, en algoritmische processen te sturen zoals sorteren en zoeken. Ze vormen de basis van ordeningstheorie, waarop onder meer concepten als partiële en totale ordeningen zijn gebouwd.

Voorbeelden: de standaard < op de reële getallen is een minder-dan-relatie; de lexicografische orde op woorden is een minder-dan-relatie die getallen en tekst op een bepaalde volgorde zet. Andere voorbeelden zijn de volgorde op natuurlijke getallen en de volgorde van kaartjes in kaartuitgaven.

Zie ook: orde, ≤ (niet-strikte orde), partiële orde, totale orde.