isomorfieën

Isomorfieën zijn in de wiskunde de structureel bewaarende bijectieve maps tussen twee objecten van dezelfde soort. Een isomorfie f van A naar B behoudt de opbouw van het object, en er bestaat een inverse f^{-1}: B naar A die eveneens een isomorfie is. In de taal van de categorie-theorie zijn isomorfen morfismen met een inverse, en twee voorwerpen worden isomorf genoemd wanneer er een isomorfie tussen hen bestaat. Isomorfie is daarmee een equivalente relatie: objecten die met elkaar isomorf zijn, hebben dezelfde structurele eigenschappen, maar kunnen qua representatie verschillen.

In verschillende takken van de wiskunde krijgt men verschillende aandachtspunten. Bij groepen is een isomorfie een bijectieve groephomomorfisme f: G → H dat f(xy)=f(x)f(y) voor alle x,y in G. Bij vectorruimten is een isomorfie een bijectieve lineaire transformatie, die additie- en scalar-vermenigvuldiging behoudt. Bij ringen en velden behoudt een isomorfie optelling en vermenigvuldiging. Bij grafen is een isomorfie een bijectieve kaart tussen de knopen die buurten behoudt.

Automorfismen zijn isomorfismen van een object met zichzelf. De verzameling Aut(A) vormt een groep onder samenstelling. Isomorfieën leiden tot classificatie: objecten die isomorf zijn, vormen een isomorphieklasse en delen dezelfde structurele invarianten, zoals orde, dimensie, rang, determinant of grafische kenmerken.

Belangrijk is dat niet elke bijectieve kaart een isomorfie is; de bewaardheid van de relevante structuur bepaalt of de kaart een isomorfie vormt.