categorietheorie

Categorietheorie is een tak van de wiskunde die de relaties tussen objecten onderzoekt via morfismen, oftewel pijlen. Een categorie C bestaat uit een verzameling objecten Ob(C) en voor elk paar objecten X,Y een verzameling morfismen Hom_C(X,Y). Er is een samenstellingsoperatie die morfismen f: X→Y en g: Y→Z tot g∘f: X→Z maakt, en voor elk object X een identiteitsmorfisme id_X: X→X. Deze structuur voldoet aan associativiteits- en identiteitswetten.

Belangrijke concepten zijn onder andere functors en natuurlijke transformaties. Een functor F: C → D stuurt objecten en morfismen op een wijze die identiteiten en samenstellingen behoudt. Een natuurlijke transformatie α: F ⇒ G bestaat uit voor elk object X een morfisme α_X: F(X) → G(X) met naturaliteitsvoorwaarden.

Constructies zoals limits en colimits generaliseren meets zoals producten en pullbacks, coproducten en pushouts. Adjuncties brengen paren van functors F ⊣ G met eenheid en counit met zich mee. De Yoneda-lemma toont dat een object volledig kan worden begrepen via de hom-sets Hom_C(-, X).

Veel gebruikte voorbeelden zijn de categorie Set van verzamelingen en functies, Grp van groepen, Top van topologische ruimten en Ab van abelse (abelian) groepen. In verschillende contexten bestaan categorieën zoals abelse categorieën, topoi, en monoidiale of verrijkte categorieën.

Historisch: Categorietheorie ontstond in de jaren 1940–1950 met Eilenberg en Mac Lane en is uitgegroeid tot een centrale taal in de wiskunde. Toepassingen omvatten algebra, topologie, logica en informatica, waar categorieën dienen als een universele taal voor structuur, coherentie en opbouw van wiskundige definities.