funktionsteori

Funktionentheorie, auch als Funktionentheorie der komplexen Variablen bezeichnet, ist das Gebiet der Mathematik, das sich mit komplexwertigen Funktionen beschäftigt, insbesondere mit holomorphen Funktionen auf offenen Teilmengen der komplexen Ebene. Wichtige Klassen sind ganzheitsfunktionen (entire), meromorphe Funktionen und allgemein analytische Funktionen. Die Grundlage bildet Analytizität, die durch die Cauchy-Riemann-Gleichungen charakterisiert ist und zu starken Aussagen über Reihenentwicklungen, Fortsetzung und Verallgemeinerungen führt.

Zentrale Werkzeuge sind der Cauchysche Integralsatz und die Cauchy-Formeln, aus denen sich Taylor- und Laurentreihen ableiten lassen. Analytische Fortsetzung, die Bestimmung von Funktionen durch ihr Verhalten auf Kurven und das Residuen-Konzept ermöglichen die effiziente Berechnung von Kurvenintegralen. Bedeutende Sätze wie das Maximum-Modulumsprinzip, Liouville’sches Theorem und der Residuensatz prägen das Grundgerüst der Theorie.

Ein weiterer Schwerpunkt ist die geometrische Funktionentheorie, insbesondere konforme Abbildungen. Der Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass jeder einfach zusammenhängende, nicht die ganze Ebene abdeckende Bereich konform auf den Einheitsdisk abgebildet werden kann. Diese Perspektive verbindet Analyse mit Geometrie und führt zu wichtigen Ergebnissen über Abbildungsräume und Potenzialtheorie.

Historisch entwickelte sich die Funktionentheorie im 19. Jahrhundert aus Arbeiten von Cauchy, Riemann und Weierstraß; sie wurde im 20. Jahrhundert durch weitere Entwicklungen in der Funktionentheorie und in der Analysis weiter vertieft, unter anderem mit Beiträgen zur Theorie mehrerer komplexer Variablen.

Anwendungsgebiete reichen von Potentialtheorie, Fluiddynamik und Elektromagnetismus bis hin zur modernen komplexen Dynamik und zur Theorie mehrerer komplexer Variablen, wobei die Methoden auch in Physik, Technik und Zahlentheorie eine Rolle spielen.