Residuensatz

Residuensatz, auch Satz vom Residuum, ist ein zentrales Resultat der komplexen Analysis. Es verbindet Konturenintegrale meromorpher Funktionen mit den Residuen ihrer isolierten Singularitäten, die von einer geschlossenen Kurve eingeschlossen werden.

Satzinhalt: Sei f meromorph in einer offenen Menge, die eine einfache, positiv orientierte geschlossene Kurve γ und ihr Inneres umfasst, und seien z1, …, zn die isolierten Polstellen von f innerhalb des Innenraums. Falls f auf γ holomorph ist, gilt das Konturenintegral

∮_γ f(z) dz = 2πi ∑_{k=1}^n Res(f, zk).

Die Orientierung von γ ist positiv (Gegen den Uhrzeigersinn); bei negativer Orientierung ergibt sich das Vorzeichen -2πi. Der Satz gilt in der allgemeineren Form auch für mehrere Kurven bzw. verschachtelte Bereiche.

Residuen: Res(f, zk) ist der Koeffizient der (z − zk)^{-1}-Term in der Laurent-Reihe von f zöglich zk. Für einen einfachen Pol z0 gilt Res(f, z0) = lim_{z→z0} (z − z0) f(z). Allgemein, wenn der Pol von Ordnung m ist, gilt

Res(f, z0) = 1/(m−1)! lim_{z→z0} d^{m-1}/dz^{m-1} [(z − z0)^m f(z)].

Damit lässt sich das Integral oft durch Kenntnis der lokalen Expansion berechnen.

Anwendungen: Der Residuensatz ermöglicht die effiziente Bewertung von Integralen rationaler Funktionen, die Lösung realer Integrale durch Konturmethoden, und die Bestimmung von Summen. Er bildet die Grundlage zahlreicher Techniken in der komplexen Analysis und in der Physik, insbesondere bei der Analysis von Funktionen mit vielen Singularitäten.