CauchyRiemannGleichungen

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen (CR-Gleichungen) sind zentrale Bedingungskriterien in der komplexen Analysis. Sie geben eine notwendige, oft auch hinreichende Bedingung dafür, dass eine komplexe Funktion differentiabel ist und damit holomorph wirkt.

Formulierung: Sei f eine Funktion definiert auf einer offenen Menge D im ebenen Koordinatensystem, und schreibe f(z) als f(z) = u(x,y) + i v(x,y), wobei z = x + i y und u, v reelle, differenzierbare Funktionen von x und y sind. Dann gelten die Cauchy-Riemann-Gleichungen

u_x(x,y) = v_y(x,y)

u_y(x,y) = - v_x(x,y)

wobei die Indizes die partiellen Ableitungen bezeichnen (∂/∂x bzw. ∂/∂y).

Bedingungen und Folgerungen: Wenn u und v in einer Umgebung von einem Punkt stetige partielle Ableitungen besitzen und die CR-Gleichungen dort erfüllen, ist f dort komplex differenzierbar. Ist dies auf ganz D der Fall, folgt, dass f holomorph (komplex analysierbar) auf D ist.

Folgen und Beispiele: Aus den CR-Gleichungen folgt, dass u und v harmonic sind (jeweils erfüllen sie die Laplace-Gleichung u_xx + u_yy = 0 und v_xx + v_yy = 0). Unter der Voraussetzung CR gilt f' (z) = u_x + i v_x = v_y - i u_y. CR-Gleichungen sind damit eng mit Analytizität, Konformität und der Struktur komplexer Funktionen verbunden.

Historisch stammen sie von Augustin-Louis Cauchy und Bernhard Riemann; sie bilden eine grundlegende Grundlage der Funktionentheorie in der Ebene.