Kurvenintegralen

Kurvenintegralen, auch als lineare Integrale bezeichnet, sind Integrale, bei denen eine Größe entlang einer Kurve im Raum summiert wird. Es gibt zwei grundlegende Formen: das Kurvenintegral eines skalaren Feldes und das Kurvenintegral eines Vektorfeldes.

Ein skalares Kurvenintegral ∫_C f ds wird über eine Kurve C berechnet, auf der die Funktion f definiert ist. Man parameterisiert C durch r(t) = (x(t), y(t), z(t)) für t im Intervall [a, b]. Dann gilt ds = ||r'(t)|| dt und das Integral wird zu ∫_a^b f(r(t)) ||r'(t)|| dt. Es fasst den Funktionswert entlang der Kurve über die differenzierte Bogenlänge zusammen.

Ein Vektor-Kurvenintegral ∫_C F · dr verwendet ein Vektorfeld F. Mit derselben Parameterisierung ergibt sich ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt. Dieses Integral hat physikalische Interpretationen, zum Beispiel die Arbeit, die ein Kraftfeld F entlang der Kurve C verrichtet.

Wesentliche Eigenschaften: Die Orientierung der Kurve beeinflusst das Vorzeichen des Integrals; Parameterisierungen derselben Kurve mit derselben Orientierung liefern dasselbe Ergebnis. Für konservative Felder F = ∇φ gilt ∫_C F · dr = φ(r(b)) − φ(r(a)); das Integral hängt also nur von Start- und Endpunkt ab, nicht vom Weg.

Anwendungen umfassen die Berechnung der Arbeit von Kräften, die Bestimmung von Material- oder Dichteverteilungen entlang einer Kurve sowie Spezialfälle wie die Berechnung der Kurvenlänge durch das Skalarfeld f ≡ 1.