Kurvenintegral

Kurvenintegral ist ein Konzept der Analysis, das die Integration von Funktionen entlang einer Kurve beschreibt. Dabei unterscheidet man zwei Haupttypen: das Kurvenintegral der ersten Art, das eine Skalarfunktion entlang einer Kurve integriert, und das Kurvenintegral der zweiten Art, das ein Vektorfeld entlang einer Kurve integriert. Gegeben eine glatte Kurve C im Raum R^n mit einer Parametrisierung r: [a,b] -> R^n, die C mit einer gegebenen Orientierung durchläuft, lässt sich das Kurvenintegral eindeutig formulieren.

Kurvenintegral der ersten Art: ∫_C f ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, wobei ds das Bogensehnenmaß ist. Das Integral summiert den Funktionswert f entlang der Kurve mit Gewicht durch die Längenelemente der Kurve; die Orientierung spielt dabei keine Rolle, da ds stets positiv ist.

Kurvenintegral der zweiten Art: ∫_C F · dr = ∫_a^b F(r(t))·r'(t) dt, wobei F: R^n -> R^n ein Vektorfeld ist. Hier wird die Komponente von F entlang der Tangente der Kurve entlang der Bewegung berücksichtigt. Die Orientierung der Kurve beeinflusst das Vorzeichen des Ergebnisses.

Eigenschaften und Anwendungen: Die Werte hängen von Kurve und Orientierung ab; Unterschiede bei Umkehr der Orientierung zeigen sich vor allem beim zweiten Typ. Typische Anwendungen sind Arbeit von Kräften entlang eines Weges, Massentransport oder Wärmefluss. Zusammenhang zu Flächenintegralen ergeben sich über Sätze wie Green, Stokes und deren Verallgemeinerungen.