Flächenintegralen

Flächenintegrale sind Integrale über Flächen im Raum R^3. Es gibt zwei Hauptarten: Flächenintegrale über skalare Felder (erster Art) und über Vektorfelder (zweiter Art). Bei letzteren spielt zusätzlich die Orientierung der Fläche eine Rolle.

Der Flächenintegral erster Art bezeichnet das Integral eines skalaren Feldes f(x,y,z) über eine Fläche S, geschrieben als ∫∫_S f dS. Für eine Parametrisierung der Fläche durch r(u,v) mit (u,v) in einem Gebiet D ⊂ R^2 gilt dS = ||∂r/∂u × ∂r/∂v|| du dv. Demnach ist ∫∫_S f dS = ∫∫_D f(r(u,v)) ||∂r/∂u × ∂r/∂v|| du dv.

Der Flächenintegral zweiter Art befasst sich mit Vektorfeldern F und wird oft als ∬_S F · dS oder ∬_S F · n dS geschrieben, wobei n die einheitliche Orientierung der Fläche bestimmt. Für eine Parametrisierung r(u,v) ergibt sich ∬_S F · dS = ∬_D F(r(u,v)) · (∂r/∂u × ∂r/∂v) du dv. Die Richtung des Vektorprodukts ∂r/∂u × ∂r/∂v bestimmt die Orientierung.

Wichtige Beispiele und Hilfsmittel sind Graphflächen z = g(x,y) mit r(x,y) = (x, y, g(x,y)) und dS = √(1 + |∇g|^2) dx dy sowie Sphären- oder Ebenparametrisierung. Relevante Theoreme umfassen den Divergenzsatz (Gauss) und den Satz von Stokes, die Flächenintegrale mit Volumen- bzw. Linienintegralen verknüpfen.