Längenelemente

Längenelemente bezeichnen in der Geometrie das infinitesimale Maß der Länge eines Kurvenabschnitts. In einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit einer Metrik g wird das Längenelement ds durch ds^2 = g_ij dx^i dx^j beschrieben. In Koordinaten x^i ist ds = sqrt(Σ_i,j g_ij dx^i dx^j). Im euklidischen Raum mit der Standardmetrik g_ij = δ_ij gilt ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2, und für eine Kurve x^i(t) ergibt sich ds/dt = sqrt( g_ij dx^i/dt dx^j/dt ), sodass die Länge eines Kurvenabschnitts s = ∫ ds ist.

Längenelemente ermöglichen es, die Bogenlänge zu definieren und Entfernungen zwischen Punkten zu messen: Der Abstand zwischen zwei Punkten ist der Infimum der Längen aller Kurven, die zwischen ihnen verlaufen. In der Geometrie führt die Variation der Länge von Kurven zur Geodätengleichung; Geodäten sind Kurven, die eine gegebene Länge extremieren. Das Längenelement ist ferner die Grundlage der Metrik, die Distanzen und Formen in riemannscher Geometrie festlegt.

In der Physik, insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie, wird ds als Spacetime- oder Raumzeit-Intervall verwendet: ds^2 = g_μν dx^μ dx^ν, wobei ds unabhängig von der Parameterisierung der Kurve ist.

Beispiele: In zweidimensionalem Euklidraum gilt ds = sqrt(dx^2+dy^2). Für eine Kurve y = f(x) ist ds = sqrt(1+(dy/dx)^2) dx.