Dichteverteilungen

Dichteverteilungen bezeichnen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von stetigen Zufallsgrößen durch Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen. Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f erfüllt f(x) ≥ 0 für alle x und ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Für jedes Intervall [a,b] gilt P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt ist monoton wachsend, rechtsstetig und erfüllt F(-∞) = 0 sowie F(∞) = 1.

Erwartungswert und Momente werden über Integrale definiert: E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx, Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2, sofern die Integrale existieren. Dichteverteilungen ermöglichen die Modellierung von Unsicherheiten in Messungen, Zufallsprozessen und naturalen Phänomenen. Oft werden Parameter wie Lage, Streuung oder Form geschätzt und Hypothesentests auf Basis der Dichte durchgeführt.

Typische Dichteverteilungen sind die Normalverteilung mit f(x) = (1/(σ√(2π))) e^{-(x−μ)^2/(2σ^2)}, die Uniformverteilung auf einem Intervall [a,b], die Exponentialverteilung mit f(x) = λ e^{-λ x} für x ≥ 0, sowie Gamma-, Beta-, Lognormal- und Cauchy-Verteilungen. In mehrdimensionalen Fällen existieren multivariate Dichten f(x1,..,xd) mit ∫ f = 1 über den gesamten Raum.

Transformationen: Ist Y = g(X) eine monotone Abbildung, ergibt sich f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) · |d/dy g^{-1}(y)|. Dichteverteilungen bilden damit eine zentrale Grundlage in Statistik, Physik und vielen Anwendungsgebieten.