fatoração

Fatoração é o processo de decompor uma expressão ou número em um produto de fatores mais simples. Em aritmética, fatora números inteiros em números primos. Em álgebra, fatora expressões polinomiais ou polinômios com coeficientes em um anel ou corpo, buscando uma expressão como produto de fatores menores que permaneçam no mesmo conjunto de coeficientes.

Fatoração de inteiros: todo inteiro positivo pode ser escrito como produto de primos de forma única, segundo o teorema fundamental da aritmética. A prática consiste em descobrir esses primos e escrever o número como 2^a 3^b …; métodos vão desde divisão repetida e o Crivo de Eratóstenes para encontrar primos até algoritmos mais avançados, como Pollard rho, Crivo quadrático, ou técnicas de fatoração de números grandes usados na criptografia.

Fatoração de polinômios: para polinômios com coeficientes em um corpo ou anel, busca-se fatorar o polinômio como produto de polinômios de grau menor, idealmente irreducíveis nesse conjunto. Em geral, o objetivo é obter fatores com coeficientes inteiros ou racionais. Técnicas comuns incluem inspeção direta, fatoração por agrupamento, diferenças de quadrados, soma ou diferença de cubos, e a fatoração de trinômios do tipo ax^2+bx+c. Em polinômios com coeficientes inteiros, pode-se aplicar o teorema da raiz racional e, em seguida, dividir para extrair fatores. Em geral, utiliza-se também o lema de Gauss para polinômios com coeficientes inteiros e, em casos mais difíceis, algoritmos computacionais de fatoração.

Importância: a fatoração simplifica cálculos, facilita a resolução de equações e sistemas, ajuda na simplificação de frações racionais e na análise de polinômios. Na criptografia, a fatoração de grandes números inteiros sustenta a segurança de sistemas como o RSA, cuja dificuldade está na fatoração de números grandes. Em teoria dos polinômios, a fatoração ajuda a estudar raízes, divisibilidade e estruturas algébricas.