polinomiais

Polinômios, também chamados polinomiais, são expressões algébricas formadas pela soma de termos que envolvem potências de uma ou mais variáveis, com coeficientes provenientes de um anel ou corpo. Em uma única variável, x, um polinômio P pode ser escrito como P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, onde n é o grau do polinômio e a_n ≠ 0. Polinômiais multivariados envolvem várias variáveis, como P(x, y) = a x^2 + b xy + c y^2 + ....

Operações básicas incluem adição, subtração e multiplicação, que combinam coeficientes segundo a regra distributiva. A avaliação de P em um valor c é P(c). O teorema do resto afirma que, ao dividir P por (x − c), o resto é P(c). O teorema do fator diz que c é raiz de P se e somente se (x − c) divide P.

Fatoração é a decomposição de um polinômio em produtos de polinômios mais simples. Em geral, P(x) pode ser fatorado em polinômios irredutíveis no corpo de coeficientes considerado. O teorema fundamental da álgebra garante que, sobre os números complexos, todo polinômio não constante pode ser escrito como produto de fatores lineares, contando as multiplicidades. No caso dos polinômios com coeficientes inteiros ou racionais, a fatoração pode exigir considerações adicionais, como lemmas de Gauss e propriedades de primitividade.

Anéis de polinôminos, como R[x], formados a partir de um anel R, possuem propriedades algébricas importantes: divisão de polinômios, existência de resto e quociente, e gcd entre polinômios.

Aplicações incluem interpolação de funções (Lagrange, Newton), aproximação e ajuste de curvas, soluções numéricas de equações e modelagem em física, engenharia e ciência de dados. Exemplos simples: P(x) = 2x^3 − 5x^2 + x − 7.