inteiros

Os inteiros, ou números inteiros, são os números que não possuem parte fracionária. Concordam com a sequência ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... e são denotados pelo conjunto Z. Em algumas definições, inclui-se o zero; a distinção entre inteiros positivos, negativos e zero é fundamental para várias operações e propriedades.

Sob adição, os inteiros formam um grupo abeliano: o elemento neutro é 0 e para cada a existe o inverso aditivo -a. Sob multiplicação, constituem um anel com identidade: o elemento 1 age como identidade, mas nem todos os inteiros têm inverso multiplicativo; apenas 1 e -1 são unidades no anel dos inteiros. Portanto, os inteiros não formam um corpo, mas sim um anel com estrutura adicional.

Subconjuntos comuns incluem os inteiros pares (2Z) e ímpares (2Z+1). Os inteiros possuem ordem total: podem ser comparados por ≤, e o valor absoluto |a| fornece a magnitude. A distância entre dois inteiros é dada por |a−b|. Em relação aos reais, os inteiros são discreto e contável, não densos, pois entre dois inteiros sempre existe outro inteiro.

Operações e aplicações: os inteiros são a base da aritmética básica, teoria dos números, congruências modulares e divisibilidade. Conceitos como divisibilidade, máximo divisor comum e primos são definidos dentro desse conjunto. Em ciência da computação, inteiros são usados para representar quantidades discretas e costumam ser codificados por meio de formatos de inteiros com largura fixa, como complemento de dois.

Resumo: os inteiros formam um conjunto central da matemática, fechado sob adição e multiplicação, com estrutura de grupo sob adição e anel sob as duas operações, incluindo zero e números negativos, e são amplamente usados em teoria, ciência da computação e aplicações computacionais.