polinômios

Polinômios são expressões algébricas formadas pela soma de termos do tipo a_k x^k, em que a_k é o coeficiente, x é uma variável e k é um número inteiro não negativo. Um polinômio em uma ou mais variáveis pode ser escrito como P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n, onde n é o grau do polinômio, o maior expoente com a_n ≠ 0. Se n = 0, o polinômio é constante. Quando apenas um termo envolve a variável, diz-se que o polinômio é monômio; a soma de dois ou mais monônios determina um polinômio.

Os coeficientes a_k pertencem a um corpo numérico, como os reais, racionais ou complexos. Polinômios podem envolver uma ou mais variáveis; por exemplo, em duas variáveis pode-se escrever P(x,y) = a_0 + a_1 x + a_2 y^2 + a_3 xy + ...,

Operações com polinômios incluem adição, subtração, multiplicação e divisão (quando o divisor não é zero). O algoritmo de divisão de polinômios produz quociente e resto. O grau de P é o maior grau dos termos com coeficiente não nulo. Avaliar um polinômio em um valor c é obter P(c).

Raízes são os números c tais que P(c) = 0. O teorema fundamental da álgebra afirma que polinômios não constantes com coeficientes complexos possuem raízes complexas, e a fatoração em fatores lineares sobre os complexos é sempre possível: P(x) = a_n ∏(x - r_i)^{m_i}. Sobre os reais, raízes podem ser reais ou pares de raízes complexas conjugadas, levando a fatores quadráticos irreduzíveis. Polinômios formam um anel sob as operações usuais, e possuem aplicações em solução de equações, interpolação, aproximação numérica e modelagem de fenômenos contínuos.