dualiteitsstellingen

Dualiteitsstellingen zijn wiskundige uitspraken die, onder een specifieke dualiteitsoperatie, in paren voorkomen: elke stelling heeft een duale versie die dezelfde inhoud uitdrukt maar met omkering van objecten of pijlen. Vaak betekent dit dat punten en vlakke dingen, of functies en hun dualen, verwisseld worden, of dat de richting van relaties wordt omgedraaid in een categorie.

Eenheid van concepten ligt in de idee van dualiteit: veel wiskundige velden lenen zich voor het formuleren van twee tegenstellende maar equivalente beschouwingen. De dualiteitsoperatie kan pijlen omdraaien (categorieën), of een transformatie omvatten die object en dualobject uitwisselt, of een koppeling tussen combinaties van operaties behelst zoals in convexanalyse.

Voorbeelden: in lineaire programmering bestaan primal- en duale problemen met vaak gelijke optimale waarden; in de projectieve ruimte is er een dualiteit tussen punten en lijnen; in de ordeleer levert een Galois-connectie een symmetrische relatie tussen verzamelingen en hun onderliggende ordeningen; Fenchel-dualiteit koppelt een convex functie aan haar convex-conjugaat; Serre-dualiteit en Poincaré-dualiteit leveren belangrijke dualiteiten in algebraïsche meetkunde en topologie; Pontryagin-dualiteit beschrijft de relatie tussen een lokale compacte abelse groep en zijn karaktergroep.

Dualiteitsstellingen bieden vaak inzicht in invarianten, optimaliteit en structuur, en vormen een breed kader in wiskunde en theoretische wetenschappen. Zie ook: dualiteit in de wiskunde, projectieve dualiteit en de genoemde specifieke dualiteiten.