convexconjugaat

Convexconjugaat, ook wel Fenchel-conjugaat genoemd, is een transformatie die aan een functie f: R^n → (-∞, +∞] een andere functie f* toewijst. Voor y ∈ R^n is de convexconjugaat g(y) gedefinieerd als f*(y) = sup_x∈R^n (⟨y, x⟩ − f(x)), waarbij ⟨·,·⟩ het standaard inproduct is. De supremum wordt genomen over alle x waarvoor f(x) niet +∞ is; de definitie werkt ook in oneindig ruime zin.

De convexconjugaat geeft een duale representatie van f. Een belangrijke eigenschap is dat f* altijd convex is, en onder gepaste regulariteit ook closed (laagdrempelig). Enkele basale voorbeelden: als f(x) = aᵀx voor een vaste vector a, dan is f*(y) = 0 als y = a en +∞ otherwise; als f(x) = (1/2)‖x‖², dan is f*(y) = (1/2)‖y‖² (self-conjugate); als f is de indicator δ_C van een gesloten set C, dan f*(y) = σ_C(y) = sup_{x∈C} ⟨y, x⟩ (de steunfunctie van C).

Belangrijke relaties omvatten de Fenchel-Young ongelijkheid ⟨x, y⟩ ≤ f(x) + f*(y) voor alle x, y, en de voorwaarde y ∈ ∂f(x) ⇔ x ∈ ∂f*(y) voor subgradenten. Een cruciale theorem, het Fenchel-Moreau-stelling, stelt dat f** = f als f gesloten, convex en proper is; in dat geval is f de grootste lagere semicontinu convex functie die ≤ f behoudt in het puntwies.

Convexconjugaat wordt veel gebruikt in convex programmeren en dualiteitsanalyse, bij het formuleren van duale problemen, en bij het bestuderen van eigenschappen zoals differentiabiliteit en subgradienten.