chikwadraatverdeling

Chikwadraatverdeling is een continue kansverdeling die ontstaat als de som van de kwadraten van k onafhankelijke gestandaardiseerde normale variabelen. Het getal k wordt het aantal vrijheidsgraden genoemd en bepaalt de vorm van de verdeling.

De waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie (PDF) van de chikwadraatverdeling met k vrijheidsgraden is f(x; k) = 1 / (2^{k/2} Γ(k/2)) x^{k/2 - 1} e^{-x/2}, voor x ≥ 0 en k > 0. De cumulatieve verdelingsfunctie wordt uitgedrukt via de incomplete gamma-functie; er bestaat doorgaans geen eenvoudige gesloten vorm voor algemene k.

Belangrijke eigenschappen zijn onder meer: de verwachting E[X] = k en de variantie Var[X] = 2k. De modus is max(0, k-2). De verdeling is scheef naar rechts en wordt bij grotere k steeds symmetrischer. De skewness is sqrt(8/k) en de excess kurtosis is 12/k. De chikwadraatverdeling is ook de gamma-verdeling met vormparameter k/2 en schaalparameter 2.

Relaties en definities: X heeft X = ∑_{i=1}^k Z_i^2, waarbij Z_i ~ N(0,1) onafhankelijk zijn. Daarmee is X een sum of kwadraten van normale variabelen en vormt het een fundamenteel model in statistische toepassing.

Toepassingen omvatten onder meer chi-kwadraattoetsen voor goodness-of-fit en onafhankelijkheid in kruistabellen, schattingen van variatie in normale populaties, en diverse inferentiële procedures in statistiek en hypothesis testing. Zie ook gammaverdeling en chi-kwadraattoetsen.