bolcoördinaten

Bolcoördinaten zijn een driedimensionaal coördinatenstelsel waarin een punt wordt bepaald door drie parameters: de afstand tot de oorsprong (r), de polaire hoek θ ten opzichte van de positieve z-as, en de azimut φ in het xy-vlak vanaf de positieve x-as. De gebruikelijke conventie stelt r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π en 0 ≤ φ < 2π, waarbij de hoeken meestal in radialen worden gemeten.

Conversie naar Cartesische coördinaten luidt:

x = r sin θ cos φ

y = r sin θ sin φ

z = r cos θ

Omgekeerd geldt:

r = √(x² + y² + z²)

θ = arccos(z / r) (voor r > 0)

φ = arctan2(y, x)

In termen van differentiaal- en volume-elementen geldt:

ds² = dr² + r² dθ² + r² sin² θ dφ²

Het volume-element is dV = r² sin θ dr dθ dφ.

De Jacobiaan van de transformatie naar bolcoördinaten is r² sin θ.

Conventies kunnen verschillen: in de wiskunde wordt soms θ als azimut en φ als polaire hoek gebruikt, terwijl in de natuurkunde vaak de rollen omgekeerd zijn. Het is daarom belangrijk om bij een probleem de gebruikte definitie te controleren.

Toepassingen van bolcoördinaten komen voor bij problemen met sferische symmetrie, zoals het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen (bijv. Laplace-vergelijking) in bolvormige gebieden, in astronomie, geowetenschappen en computergraphics. De methode vergemakkelijkt vaak integratie en interpretatie wanneer meetpunten en functies afhankelijk zijn van afstand en hoeken.