afstandsmaat

Een afstandsmaat is in wiskunde en informatica een functie d: X × X → [0, ∞) die twee objecten uit een verzameling X aan elkaar koppelt met een getal dat de afstand tussen deze objecten aangeeft. De verzameling X kan bestaan uit vectoren, strings, verzamelingen, grafen of andere representaties. Een afstandsmaat geeft meestal hogere waarden voor objecten die verder uit elkaar liggen.

Als een afstandsmaat voldoet aan de volgende axioma's, wordt hij een metriek genoemd: niet-negativiteit (d(x,y) ≥ 0), identiteit van ononderscheidbare (d(x,y) = 0 iff x = y), symmetrie (d(x,y) = d(y,x)) en de driehoeksstelling (d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) voor alle x,y,z in X). Wanneer d(x,y) = 0 mogelijk is zonder dat x = y, spreekt men van een pseudometriek; ontbreekt de driehoeksstelling, dan is het een semimetric of een dissimilariteitsmaat.

Voorbeelden van afstands- en metrieke maten zijn onder meer de Euclidische afstand d(x,y) = sqrt(sum(xi − yi)²) en de Minkowski-afstanden d_p(x,y) = (sum |xi − yi|^p)^(1/p) voor p ≥ 1, waaronder de Manhattan-afstand (p = 1) en de Chebyshev-afstand (p → ∞). Bij discrete data zijn Hammingafstand (gelievegelijke lengte strings) en Levenshteinafstand (bewerkingseenvoudige strings) veelgebruikte metrieke maten. Jaccardafstand is een metriek voor verzamelingen: 1 − |A ∩ B| / |A ∪ B|.

Toepassingen van afstands- en metrieke maten omvatten clustering, k-nearest neighbors, classificatie, en multidimensionale schaallang. De keuze van de afstand beïnvloedt resultaten en kan worden aangepast via normalisatie, domeinspecifieke definities of metric learning.