Zustandsverteilung

Zustandsverteilung bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in vielen Anwendungsfeldern die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten über die möglichen Zustände eines Systems. Sie ordnet jedem Zustand i eine Wahrscheinlichkeit p(i) zu, sodass p(i) ≥ 0 gilt und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist. Zustandsverteilungen können zeitlich variieren (transiente Verteilungen) oder im Gleichgewicht eine zeitunabhängige Stationärverteilung annehmen.

In diskreten Prozessen wie Markovketten beschreibt die Zustandsverteilung zu einer Zeit t die Wahrscheinlichkeiten, sich in den einzelnen Zuständen zu befinden. Sie entwickelt sich gemäß der Übergangsmatrix P aus der Anfangsverteilung π0. Eine Stationärverteilung π erfüllt π = πP; viele Prozesse konvergieren gegen eine solche Verteilung, wenn der Prozess ergodisch ist.

In der statistischen Physik beschreibt die Boltzmann-Verteilung im Gleichgewicht die Zustandsverteilung von Systemen mit diskreten Zuständen: p_i ∝ exp(-E_i/(kT)). Für Ensembles wird die Gibbs-Verteilung verwendet, p_i ∝ exp(-βE_i) mit β = 1/(kT). Die Normalisierung erfolgt über die Partitionsfunktion Z. Temperatur und Energie bestimmen die Verteilung, aus der Erwartungswerte und Fluktuationen berechnet werden.

In der Quantenmechanik wird die Zustandsverteilung durch den Dichteoperator ρ beschrieben. Wahrscheinlichkeiten von Messergebnissen ergeben sich aus der Born-Regel: p = Tr(ρ Π), wobei Π der Messoperator bzw. Projektor ist. Gemischte Zustände berücksichtigen statistische Anteile.

Anwendungen finden sich in Statistik, Informatik, Physik, Biologie und Wirtschaft, beispielsweise bei Modellierung zufälliger Prozesse, Bayesianer Analysen oder der Berechnung von Mitteln und Varianzen aus einer gegebenen Zustandsverteilung.