Anfangsverteilung

Anfangsverteilung, in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in stochastischen Modellen, bezeichnet die Verteilung der Zustände eines Prozesses zum Zeitpunkt t0, typischerweise t0 = 0. Sie ist eine Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Zustandsraum und bestimmt zusammen mit dem Übergangsmechanismus die zukünftige Verteilung der Zustände.

Im diskreten Zustandsspektrum kann die Anfangsverteilung als Vektor pi0 beschrieben werden, bei dem pi0_i die Wahrscheinlichkeit angibt, dass der Anfangszustand i gilt, mit pi0_i ≥ 0 und die Summe über alle i gleich 1 ist. Bei stetigen Zustandsräumen wird eine Anfangsdichte p(x,0) oder eine Anfangsverteilung μ0 beschrieben, die ebenfalls eine normierte Wahrscheinlichkeitsmaß ist.

Die Anfangsverteilung beeinflusst maßgeblich die Entwicklung des Modells in der Anfangszeit. In diskreten Zeitabläufen wie Markov-Ketten mit Übergangsmatrix P gilt die Verteilung zur nächsten Zeit Stets pi_t = pi0 P^t (als Zeilenvektor). In kontinuierlicher Zeit gelten für die Verteilung zur Zeit t die Gleichung pi(t) = pi(0) exp(Qt) bei einem Generator Q. Bei deterministischen Modellen entspricht die Anfangsverteilung einer delta-Verteilung am Anfangszustand.

In Anwendungen wird die Anfangsverteilung oft aus Daten abgeleitet, durch Annahmen aus Vorwissen festgelegt oder als stationäre Verteilung gewählt, wenn das System als stationär betrachtet wird. Eine falsche oder unsichere Anfangsverteilung kann zu signifikanten Abweichungen in der kurzen Laufzeit führen, während sich in ergoden Systemen der Einfluss der Anfangsverteilung mit zunehmender Zeit abschwächt.

Beispiele reichen von Anfangszuständen in Brettspielen mit Gleichverteilung über anfängliche Allelfrequenzen in Populationsgenetik bis hin zu initialen Prävalenzwerten in epidemiologischen Modellen.