deltaVerteilung

DeltaVerteilung, oft als Dirac-Delta-Verteilung bezeichnet, ist in der Mathematik der Begriff einer Verallgemeinerung der Funktion. Sie gehört zur Theorie der Verteilungen (Distributionen) und wirkt auf Testfunktionen φ durch das Sifting- oder Mittelwertprinzip: ∫_{-∞}^{∞} δ(x) φ(x) dx = φ(0). Damit ist δ keine reguläre Funktion, sondern eine lineare, stetige Abbildung von Testfunktionen in die reellen Zahlen.

Eigenschaften der Delta-Verteilung umfassen Verschiebung, Skalierung und Faltung. Die Verschiebung δ(x−a) wirkt so, dass ∫ δ(x−a) φ(x) dx = φ(a). Bei der Skalierung gilt δ(a x) = δ(x)/|a|. Die Faltung mit einer Funktion ergibt die Funktion selbst: δ f = f. Ableitungen der Δ-Verteilung sind durch ⟨δ′, φ⟩ = −⟨δ, φ′⟩ definiert, also ⟨δ′, φ⟩ = −φ′(0). Mehrdimensionale Delta-Verteilungen δ^(n)(x) lassen sich als Produkt δ(x1) δ(x2) … δ(xn) interpretieren, verschieben sich entsprechend zu δ^(n)(x−a).

Darstellung als Grenzwert oder Approximationen ist ebenfalls zentral. Man verwendet Approximationsidentitäten δ_n(x) mit ∫ δ_n(x) dx = 1 und δ_n → δ im Verteilungs-Raum, z. B. durch Gauß-Funktionen δ_n(x) = (1/(√(2π) σ_n)) exp(-x^2/(2 σ_n^2)) bei σ_n → 0. Die Fouriertransformation von δ ist gleich 1, F{δ} = 1, was ihre zentrale Rolle in Frequenzanalysen erklärt.

Anwendungen finden sich in der Signalverarbeitung, Physik und Systemtheorie. Die Delta-Verteilung modelliert punktförmige Quellen oder Impulse und dient als mathematisches Werkzeug zum Auswerten von Funktionswerten an bestimmten Stellen (Sifting-Eigenschaft). In der Theorie der Verteilungen wird δ als Dirac-Maß verstanden; Produkte mit allgemeinen Funktionen sind nicht immer definiert, weshalb distributionstheoretische Rahmenbedingungen nötig sind.