Approximationsidentitäten

Approximationsidentitäten, auch als approximate identities bezeichnet, sind in der Harmonik- und Funktionalanalysis verwendete Familien von Funktionen φε im L^1(G) einer lokalen Gruppe G (oft G = R^n). Sie dienen als Annäherung an die Identität durch Faltung. Eine gängige Realisierung ist φε(x) = ε^{-n} φ(x/ε) mit φ ∈ C_c^∞(R^n) und ∫ φ = 1. Die Familie φε heißt ein Approximationsidentität, wenn f * φε → f gilt, zum Beispiel für alle f ∈ L^p(R^n) mit 1 ≤ p < ∞, wenn ε → 0. Dadurch wirkt die Faltung mit φε wie eine Glättung, die gleichzeitig die ursprüngliche Funktion möglichst unverändert lässt.

Eigenschaften solcher Identitäten sind: ∫ φε = 1, φε ≥ 0 bei positivem Mollifier, und der Parameter ε steuert die Lokalisierung (der Effekt der Faltung konzentriert sich auf ein kleiner werdendes Umgebungsgebiet um jeden Punkt). Typische Konkretisierungen verwenden kompakt unterstützte Mollifiern, aber auch Kernels wie der Gauss-Kern Gε, der Poisson-Kern oder Fejér-Kerne liefern Approximationseigenschaften. Zusätzlich gelten in vielen Fällen konvergenzresultate wie f * φε → f in L^p-Räumen oder, je nach Rahmen, auch punktweise.

Anwendungen finden sich in der Glättung von Funktionen, beim Nachweis von Konvergenzresultaten in der Fourier-Analysis, in der Regularisierung von PDE-Lösungen und in der Theorie der Verteilungen. Approximationsidentitäten ermöglichen es, lokale Eigenschaften einer Funktion zu studieren und zugleich analytische Werkzeuge wie Fourier-Transformieren oder Mollifikation einzusetzen.