Zufallsfunktionen

Zufallsfunktionen bezeichnet in Mathematik und Informatik Funktionen, deren Ausgaben durch Zufall bestimmt sind. In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden sie als Zufallsgrößen oder als Abbildungen von einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω in eine Zielmenge Y verstanden. Oft ist eine Zufallsfunktion auch als stochastischer Prozess modelliert, X: T × Ω → Y, wobei für jedes ω ∈ Ω die Abbildung t ↦ X(t, ω) eine Funktion von T nach Y ergibt. So modelliert eine Zufallsfunktion zeitliche oder weitere Eingabeabhängigkeiten mit zufälliger Prägung.

Formal lässt sich eine Zufallsfunktion als messbare Abbildung X definieren, deren Werte je nach ω unterschiedliche Funktionsprofile liefern. In der Praxis werden Zufallsfunktionen häufig durch Zufallsquellen realisiert, etwa durch Zufallszahlengeneratoren oder Experimentreihen, bei denen Beobachtungen variieren. Beispiele reichen von einer Münze, die bei jedem Wurf eine Funktion über Zeit liefert, bis zu Messreihen, bei denen der Verlauf eines Signals zufällig gestört ist und als Funktion der Zeit interpretiert wird.

Anwendungen finden sich in Simulationen, Monte-Carlo-Verfahren, Risikobewertung, Signalverarbeitung und theoretischer Informatik (z. B. Random-Oracle-Modelle, randomisierte Algorithmen). Zentrale Konzepte sind Verteilungen der Funktionswerte, Erwartungswert, Varianz sowie Abhängigkeiten über den Index T oder andere Parameter.

Der Begriff kann kontextabhängig variieren: Manche Autoren verwenden Zufallsfunktion als Oberbegriff für stochastische Prozesse oder für Funktionen, die eine Zufallsquelle nutzen.